直方图均衡

直方图均衡（Histogram Equalization）

1. 灰度变换前后直方图的关系

• 灰度变换

  $$D_B=f(D_A)$$

• 灰度变换后灰度直方图的关系

  

  对于某一灰度值，其直方图数值和灰度变化后对于的灰度值的直方图数值相同

  $$\int_{D_B}^{D_B+\Delta D_B}H_B(D_B)dD = \int_{D_A}^{D_A+\Delta D_A}H_A(D_A)dD$$

  

  $$\int_{D_B}^{D_B+\Delta D_B}H_B(D_B)dD = \int_{D_A}^{D_A+\Delta D_A}H_A(D_A)dD$$

  $$H_B(D)\Delta D_B=H_A(D)\Delta D_A$$

  $$H_B(D_B)=\frac{H_A(D_A)}{\Delta D_B/\Delta D_A}$$

  当$\Delta D_A\to0,\Delta D_B\to0$,

  $$H_B(D_B)=\frac{H_A(D_A)}{dD_B/dD_A}$$

  代入$D_B=f(D_A)$,

  $$dD_B/dD_A{=}df(D_A)/dD_A$$

  $$H_B(D_B)=\frac{H_A(D_A)}{f^{^{\prime}}(D_A)}$$

  因此，灰度变换后图像直方图是变换前直方图与变换函数导数之比。

• 例子

  

2. 直方图均衡

直方图均衡的作用：

那能实现直方图均衡的灰度变换是什么？

直方图均衡后，每个灰度级拥有相同的像素个数：

$$H_B(D_B)=\text{常数}$$

$$H_B(D_B)=\frac{H_A(D_A)}{f^{^{\prime}}(D_A)}=\text{常数}=\frac{A_0}{D_m}$$

其中$D_{m}$ 代表灰度级（最大可能像素值的大小）， $A_{0}$ 代表图像像素总数。

$$f^{'} ( D_{A} )=\frac{D_{m}} {A_{0}} \! \cdot\! H_{A} ( D_{A} )$$

对两边同时积分，

$$f(D_A)=\frac{D_m}{A_0}\cdot\sum_0^{D_A}H_A(D_A)$$

$$D_{B}=\frac{D_{m}} {A_{0}} \cdot\sum_{0}^{D_{A}} H_{A} ( D_{A} )$$

• 直方图均衡例子

3. 直方图均衡应用

• 人脸识别

4. 参考

• https://www.bilibili.com/video/BV1Kh411X7Qv